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彻底理解 softmax、sigmoid、交叉熵（cross-entropy）

sigmoid 函数也叫S函数，因为它的函数曲线的形状像字母 S，由此得名。其形式为：

sigmoid 函数的输入是一个标量，输出也是一个标量，是一个标量到标量的映射。从函数曲线或函数表达式可以看出，sigmoid 函数的定义域为全体实数 ，值域为 (0,1) 区间，由此可以发现，sigmoid 函数能够起到将任意数值放缩到 (0,1) 区间内部。sigmoid 函数过去经常作为神经网络的激活函数，这是因为一方面 sigmoid 函数能够将那些过大或过小的数值缩放到 (0,1) 区间内部，同时还可以保持其相对大小；另一方面 sigmoid 函数的导数 ，可以发现 sigmoid 函数的导数可以由 sigmoid 本身直接得到，这个特性使得 sigmoid 函数在神经网络的反向传播过程中的求导十分容易。然而现在更常用的激活函数是形式更为简单的 ReLU 函数 。

值得一提的是，sigmoid 函数的原函数叫做 softplus 函数，其形式为：

softplus 函数的值域为 ，可用来产生正态分布的均值 和标准差 ，softplus 函数的名字来源于 函数的平滑形式。

softplus 函数的导数是 sigmoid 函数 。

softmax 函数，顾名思义是一种 max 函数，max 函数的作用是从一组数据中取最大值作为结果，而 softmax 也起到类似的作用，只是将这组数据进行一些处理，使得计算结果放缩到 (0,1) 区间内。

softmax 函数首先将这组数据中的每一个值 都转换为自然对数 的指数，即 ，随后将每个转换后的数据 都除以所有转换后数据的和 ，即 ，就是 softmax 对数据 的输出结果。这里需要注意的是，softmax 的作用是将一组数据的每一个都转换到 (0,1) 区间内，输入是一个向量，输出也是一个向量，是一个从向量到向量的映射；而 max 函数是将一组数据中的最大值作为输出，输入是一个向量，输出则是一个标量（一个数），是一个从向量到标量的映射，max 函数将输入数据的维度进行了压缩。

softmax 函数可视作 sigmoid 函数在向量上的扩展形式。sigmoid 函数的输入为一个标量，作用是将其放缩到 (0,1) 区间内，而 softmax 的输入为一个向量，输出也是一个向量，作用与 sigmoid 相同，只是 softmax 函数会保持这个向量内每个分量互相之间的相对大小（分量小的在 softmax 后依然小，分量大的在 softmax 后依然大）。考虑一个 2 维向量 ， ， ，当 时， ，其形式与 sigmoid 函数一致。

交叉熵 函数是用于计算两个概率分布之间的差异，其输入为两个分布，输出为一个标量，该标量表示两个分布之间的差异程度。交叉熵的形式为：

这里需要注意的是，在交叉熵函数中，交换分布 p 和 q 的顺序会影响交叉熵函数的输出结果，因为交叉熵函数 的作用是以分布 p 为基准，对分布 q 进行评估，将其交换顺序会导致评估的基准不一致， 与 的意义并不相同。

在深度学习中，经常将交叉熵函数与 softmax 函数相关联，这是因为 softmax 函数对一组数据的每个数据进行计算后，可以将这组数据中的每一个都映射到 (0,1) 区间上，并且其和为 1，符合概率的定义，而交叉熵恰恰是对概率分布进行计算，因此通常将 softmax 函数的输出结果作为交叉熵函数的输入，将二者构造为复合函数。

在深度学习的训练过程中，通常将每个输入的真实标签值设置为分布 p，预测值设置为分布 q，利用交叉熵函数计算出的值作为损失值，将其用于后续的反向传播计算梯度并更新权重。在这里，设 softmax 函数对输入数据 预测为第 类的概率为 ，输入数据 属于第 类的真实概率为 ，那么交叉熵函数的形式为：

根据以上公式，对模型预测的第 类的导数为：

softmax 函数对输入的导数的形式可由 softmax 本身得到，其形式十分简单（由于自然对数 的存在）：

将 softmax 函数的输出作为交叉熵函数中的概率 ，即 ，那么交叉熵函数对 softmax 函数的输入 的导数为：

由于这里将 softmax 函数视作 p，即：

将 softmax 用 p 代替，也就是将 替换为 ：

最后将上式代入到交叉熵函数的导数 中，即可得到交叉熵函数对输入 的导数：

可以看到交叉熵函数与 softmax 函数结合使用，可以得到十分简洁的导数形式，只需将 softmax 的输出结果减 1 再与对应的标签值 相乘即可得到在第 类上的导数，对每个类别分别计算相应的导数，即可得到我们需要的梯度。在许多任务中，标签值往往用 one-hot 形式表示， 一般为 1，那么只需将 softmax 函数的计算结果减 1 即可得到本次传播的第 类的导数值，这使得反向传播中梯度的计算变得十分简单和方便。

softmax修约公式

softmax修约公式，softmax可以将经交叉熵损失函数的输出都映射到 0 到 1 间，且各分类累和为 1。符合概率分布。

假设共有 n 个输出 [Z1,...,Zn]，对第 i 个元素 Zi 的softmax的计算公式：Si = ezi / sum(ezn)

softmax原理及推导

本次记录内容主要为softmax的推导，部分内容有参考各网友文章

多分类问题符合多项式分布，softmax是一种用于解决多分类问题的有效方法。

softmax的推导思路为：

首先证明 多项分布属于指数分布族 ，这样就可以使用广义线性模型来拟合这个多项分布，由广义线性模型推导出的目标函数 h(x) 即为Softmax回归的分类模型。

（什么是指数分布族可参考我的另一篇 指数分布族函数与广义线性模型 ）

多分类模型的输出是该样本属于k个类别的概率，从这k个概率中我们选择最优的概率对应的类别，作为该样本的预测类别。

这k个概率用k个变量 Θ1…Θk 来表示，这k个变量的和为1，即满足：

在这里，统计分量T(y)并没有像之前那样定义为T(y)=y，因为T(y)不是一个数值，而是一个k-1维的向量。下面使用 表示向量T(y)的第 i 个元素。

下面引入一个新的符号：

也就是说，向量T(y)的第 i 个元素是否为1是由当前y是否与 i 相等决定的。

T(y)是一个类似于onehot向量的东西，表示属于k类中的哪一个，则相应位置 i 会置为1。

那么可以得到：

多项式分布转化为指数分布族表达式过程如下：

上面转换过程中每一步的转换依据如下：

以上推导证明了：多项分布表达式可以表示为指数分布族表达式的格式，所以它属于指数分布族，那么就可以用广义线性模型来拟合这个多项式分布模型。

由η表达式可得：