维度：数学漫步 Dimensions: A Walk Through Mathematics(2008)

简介：

《维度：数学漫步（Dimensions: a walk through mathematics）》是两小时长的CG科普电影，讲述了许多深奥的数学知识，如4维空间中的正多胞体、复数、分形（fractals）、纤维化理论（fibrations）等等。

影评：

1. 看到第四集大多数人会奔溃的。
   因为作为可悲的三维生物的我们无法理解什么是四维。
   于是我又到网上研究了一下关于四维的东西。
   后来终于可以从理性上搞懂撒子是四维的世界，四维对于我们来说就像我们对于纸上的蜥蜴，要想象起来实在是太困难了。
   我是无法想象什么是四维，不知道那些研究四维的数学家们可以吗？
   欧几里德那时候就在研究超过三维的空间了，他貌似把向量从三维四维五维一直推广到了n维。
   我不想在这里批判中国的教育怎样剥夺了我们对科学的热爱，但至少我所学到数学当中是无比枯燥的做题和计算，而根本没有将数学的奥妙有趣教授给我们。
   叫我们从三维的投影来了解四维的空间当然也是无比困难的事情，不经让我感叹那些数学家得有多强悍呀！不过也体现了一些数学基本的方法，将未知不能直接运算的东西转化为可以预见的东西。
   伟大的数学和物理。
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   写这一篇文章的时候我正在读高三，没想到命运这么弄人，如今我正坐在“几何与代数”的课堂上，听老师讲在欧式几何中的子空间、向量唯独。对啊，我在一个国内不错但是不是最好的大学里面学数学专业。
   
   因为刚进大学也没太久，也无法自以为是地以一个数学专业的立场来给大家讲这个视频，但就目前为止我的理解还是比刚看的时候深刻一些。因为其实在数学的推理中，学过“高等代数”的理工科同学可能知道，从有具体意义的向量推广到广义上的向量这一点是非常抽象及灰色的。好吧，太过晦涩的理解我也没资格装逼来讲。但我想说的是，大家在有兴趣看那n维推理的时候可以不要强迫自己将这些概念与客观世界的规定相联系。用我们几何与代数老师的话说就是你把这些抽象的概念当做一个推理游戏去玩，这样可能比想象它们是数学要有趣得多。
   
   虽然我现在觉得数学并不无聊，但读大学以来就很少提笔了，感觉人生少了一份灵犀。庶竭驽钝，希望以后有机会多写一些数学方面的科普。一方面娱乐一下自己，一方面为一些没有涉及数学的朋友们提供一点娱乐。
   
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   那我用我们对客观世界的普遍认识来解释一下这个维度的问题，可能我也说得不对。比如说古时候人们对生活的世界有了一定的认识，但却对死后的世界无法认识，于是以生前的世界为基础，以一定逻辑构造（想象）了一个死后的世界：天堂、地狱什么的。但人们谁也没有去过那里，这些“世界”对于我们就像四维、n维的世界对于我们一样，我们可以通过我们现在对三维二维的认识去推理出四维n维的数学世界，但就像天堂和地狱一样，不一定会有绝对的现实意义。
2. 很好的科普纪录片...
   看完后对四维空间产生了兴趣，查阅了很多资料，整理后记录在这里：
   
   与大家分享，有兴趣可以点击看看，另外，这个空间还有些与分形有关的文章，欢迎交流。

3. 今天又琢磨了一下片中讲到的复数，引入的方式让我一个文科生觉得非常神奇。 如果x·(-1)相当于数轴上的一个点以原点为中心旋转180°，从正半轴落到负半轴，再乘一次，就转回初始位置。 那么，把x·(√-1)理解为以原点为中心旋转90°，从横轴落到纵轴上； 再乘一次，再转90°，相当于x·(√-1)^2=x·(-1)，也就是转了180°，又回到横轴。 然后定义纵轴上正负方向的两个交点为(0,i)和(0,-i)。 自然数是一维的，因为只要一个数（轴）就能描述它，把它放在线上就可以理解。 复数是二维的，因为要两个数（轴）的坐标才能描述它，要把它放在一个面上才能理解。 因为是一组数，所以叫复数。

   那么，本来看上去没有意义的√-1是怎么变得有意义的？ 通过拓展维度。一种不存在、不成立的东西，就是在原来的结构下无法得到定义的东西，那么拓展这个结构，给它增加一个向度，就有地方放下这个东西了。 不可理喻、不可思议的东西，可能都是在某个给定的结构中无处安放的东西。它是该结构片面性的指示。所以数学是不是要不断力图往那些“按其定义不存在……”的方向拓宽、让它们可以存在？在这个过程中，结构会不断丰富，它能“解释”（即结构化）的现象也就越来越多。

   既然一个复数其实是两个数，是二维的，用一对复数的坐标系就可以表示四维。 一个在旧结构里“不可能”的点，被打造成一个崭新结构的基石，用来理解（结构化）超出我们直观能力的神秘。

4. 从拓扑和几何的角度理解曲率和连通性之间的关系，可以从以下几个方面进行探讨：

   1. 曲率的定义

   在几何学中，曲率是描述几何对象（如曲线、曲面等）弯曲程度的一个量。曲率可以分为多种类型：

   • 平面曲线的曲率：在二维平面上，对于一个给定点的曲率，定义为曲线在该点的曲率圆的倒数。
   • 空间曲线的曲率和挠率：除了曲率之外，还有挠率，描述曲线的扭曲程度。
   • 曲面的高斯曲率：高斯曲率是通过主曲率（在某一点处曲面的两个主要方向的曲率）计算得到的乘积。
   • 黎曼流形的曲率：在更一般的黎曼流形上，有黎曼曲率张量，可以用来描述流形在每一点处的局部几何性质。

   2. 连通性的定义

   在拓扑学中，连通性描述一个空间的整体结构，主要有以下几种连通性：

   • 路径连通性：如果空间中的任意两点可以通过一条连续路径连接，则该空间是路径连通的。
   • 单连通性：如果空间中的任意闭合路径都可以连续变形为一个点，则该空间是单连通的。
   • 一般连通性：通过基本群（即空间的环绕不同基点的路径类别的群结构）来描述，基本群为平凡群（即只包含单位元）时，空间是单连通的。

   3. 曲率与连通性之间的关系

   在某些特定情况下，曲率和连通性之间存在一定的关系，以下是一些例子：

   高斯-博内定理

   高斯-博内定理是连接曲率和拓扑性质的一个经典定理。对于一个紧致的二维黎曼曲面（如球面或环面），其高斯曲率的积分与其欧拉示性数（描述曲面的拓扑性质）之间存在如下关系：

   ∫MKdA=2πχ(M)其中，K 是高斯曲率，χ(M) 是曲面的欧拉示性数。

   负曲率与连通性

   在负曲率的情况下（如双曲几何），空间通常具有更复杂的连通性结构。例如，在负曲率的空间中，基本群通常是非平凡的，这意味着空间中存在许多不同的路径类别，不能简单地变形为一个点。

   正曲率与连通性

   正曲率空间（如球面）的单连通性往往比较简单。例如，正曲率的二维球面是单连通的，即其基本群是平凡群。

   4. 具体例子分析

   • 二维球面（S²）：二维球面具有正的常曲率，其欧拉示性数为2，表示其是单连通的。
   • 环面（Torus）：环面具有零的高斯曲率，其欧拉示性数为0，但其基本群是非平凡的，表示其不是单连通的。
   • 双曲面（Hyperbolic surface）：具有负的常曲率，其基本群是复杂的，表示其具有复杂的连通性。

   通过以上例子可以看出，曲率在一定程度上影响了空间的连通性和拓扑性质，但这种关系并不是绝对的，而是通过特定的几何和拓扑定理联系在一起的。